Тема 5: Представление чисел в позиционных системах счисления (базовый)

 

Тема 5: Представление чисел в позиционных системах счисления

Мы постоянно оперируем числами, ежедневно, не слишком задумываясь о том, что они из себя изначально представляют. 

Счет появился тогда, когда человеку потребовалось информировать своих сородичей о количестве обнаруженных им предметов. Как только люди начали считать, у них появилась потребность в записи чисел. Находки археологов свидетельствуют о том, что первоначально число предметов отображали равным количеством каких-либо значков:

точки, черточки. Такая система записи чисел называется единичной (унарной), т.к. любое число в ней образуется путем повторения одного знака, символизирующего единицу. Самым простым инструментом счета были пальцы на руках человека

Унарная система — не самый удобный способ записи чисел: при написании больших чисел получается очень длинная запись. С течением времени возникли иные, более удобные и экономичные системы: Вавилонская, Египетская, Славянская, Римская и другие. Рассмотренные записи чисел называются системами счисления.

Система счисления — это способ записи чисел.

Система счисления — это знаковая система, в которой числа записываются по определенным правилам с помощью символов некоторого алфавита, называемые цифрами.

Алфавит системы счисления — это используемый в ней набор цифр.

Основание системы счисления — это количество цифр в алфавите (мощность алфавита).

Различают непозиционные и позиционные системы счисления.

В непозиционных системах счисления величина, которую обозначает цифра, не зависит от положения этой цифры в числе.

Примером непозиционной системы, которая сохранилась до наших дней, может служить система Древнего Рима.

Римская система счисления. В качестве цифр использовались большие латинские буквы. А остальные числа записываются комбинациями этих знаков. Число формировалось из цифр, а также с помощью групп: Группа 1-го вида — несколько одинаковых подряд идущих цифр: XX = 20 (не более трёх одинаковых цифр); Группа 2-го вида — разность значений двух цифр, если слева стоит меньшая: СМ = 1000 – 100 = 900 (может стоять только одна цифра). Величина числа суммируется из значений цифр и групп 1-го или 2-го вида.

Позиционные системы счисления.

Система счисления называется позиционной, если количественный эквивалент цифры зависит от её положения (места, позиции) в записи числа. Основное достоинство любой позиционной системы счисления — возможность записи произвольного числа ограниченным количеством символов. Пример этой системы — привычная нам десятичная система счисления. Существует бесконечно много позиционных систем счисления. Каждая из них определяется целым числом q>1, называемым основанием системы счисления. Для записи чисел в позиционной системе счисления с основанием q нужен алфавит из q цифр. В q-ичной системе счисления q единиц какого-либо разряда образуют единицу следующего разряда. Последовательность чисел, каждое из которых задает «вес» соответствующего разряда, называется базисом позиционной системы счисления. Представление числа в виде суммы разрядных слагаемых называется развёрнутой формой записи числа в системе счисления с основанием q. Свёрнутой формой представления числа называется его запись в виде:

Свернутой формой записи числа мы пользуемся в повседневной жизни. Развёрнутая форма записи чисел также всем хорошо известна. Ещё в начальной школе дети учат записывать числа в виде суммы разрядных слагаемых. Если представить разряды в виде степеней основания, то получим:

Иногда бывает полезно преобразовывать развернутую форму записи числа так, чтобы избежать возведения основания в степень. Такую формулу представления числа называют схемой Горнера.

В наши дни большой практический интерес представляют двоичная, троичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления. Двоичная система счисления — самая важная для компьютеров. В двоичной системе счисления основание — 2, а алфавит состоит из двух цифр 0 и 1.

Перевод числа, записанного в системе счисления с основанием q, в десятичную систему счисления основан на использовании развёрнутой формы записи чисел.

Алгоритм перевода в 10-ю систему счисления:

1. Записать развёрнутую форму числа.
2. Представить все числа, фигурирующие в развёрнутой форме, в 10-й системе счисления.
3. Вычислить значение полученного выражения.

Перевод в десятичную систему счисления целых двоичных чисел будет значительно проще, если вспомнить и использовать уже знакомую вам таблицу степеней двойки.

Рассмотрим пример:

Для перевода двоичного числа в десятичную систему счисления можно воспользоваться схемой Горнера.

1. Возьмем 1, соответствующую самому старшему разряду числа, и умножим её на 2.
2. Прибавим следующую цифру.
3. Умножим результат на 2.
4. Прибавим следующую цифру.
5. Умножим результат на 2.
6. Прибавим следующую цифру.
7. Умножим результат на 2.

Рассмотрим несколько примеров решения задач.

Десятичное число 57 в некоторой системе счисления записывается как 212. Определим основание этой системы счисления. Решение: поскольку в записи числа 212_q есть цифра 2, то можно сказать, что q>2. Представим число 212_q в развёрнутой форме и приравняем к 57.

Решим уравнение: это квадратное уравнение, его корни Х₁ = –5,5; Х₂ = 5. Так как основание системы счисления должно быть натуральным числом, то q = 5

Перевод целого десятичного числа в систему счисления с оcнованием q

Для перевода целого десятичного числа в систему счисления с основанием q следует:

1. Последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на основание новой системы счисления до тех пор, пока не получится частное, равное нулю.
2. Полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие алфавиту новой системы счисления.
3. Составить число в новой системе счисления, записывая его, начиная с последнего остатка.

Для перевода целого десятичного числа в двоичную систему счисления можно воспользоваться таблицей степеней двойки. Рассмотрим пример: переведем число 529 в двоичную систему счисления.

Представим число в виде суммы степеней двойки, для этого:

— возьмем максимально возможное значение, не превышающее исходное число (512 < 529);

— найдем разность между исходным числом и этим значением (17);

— выпишем степень двойки, не превышающее эту разность и т. д. Когда исходное число было представлено в виде суммы, мы построили его двоичное представление, записав 1 в разрядах, соответствующих слагаемых, вошедшим в сумму, и 0 – во всех остальных разрядах.

529₁₀ = 512 + 17 = 512 + 16 +1 = 2⁹ + 2^{4 +} 2⁰ = 1000010001₂

Перевод десятичной дроби в систему счисления с основанием q

Для перевода конечной десятичной дроби в систему счисления с основанием q следует:

1. Последовательно умножать данное число и получаемые дробные части произведения на основание новой системы счисления до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равна нулю или не будет достигнута требуемая точность представления числа.
2. Полученные целые части (цифры числа) привести в соответствие алфавиту новой системы счисления.
3. Составить дробную часть числа в новой системе счисления, начиная с целой части первого произведения.

При необходимости перевод целого числа А из системы счисления с основанием p в систему счисления с основанием q можно свести к хорошо знакомым действиям в десятичной системе счисления: перевести исходное число в десятичную систему счисления, после чего полученное десятичное число представить в требуемой системе счисления.

Быстрый перевод чисел в компьютерных системах счисления

Способ «быстрого» перевода основан на том, что каждой цифре числа в системе счисления, основание которой q кратно степени двойки, соответствует число, состоящее из n (q=2ⁿ) цифр в двоичной системе счисления. Замена восьмеричных цифр двоичными тройками (триадами) и шестнадцатеричных цифр двоичными четвёрками (тетрадами) позволяет осуществлять быстрый перевод. Для этого:

1. Данное двоичное число надо разбить справа налево на группы по n цифр в каждой.
2. Если в последней левой группе окажется меньше n разрядов, то её надо дополнить слева нулями до нужного числа разрядов.
3. Рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число и записать её соответствующей цифрой системы счисления с основанием q = 2ⁿ.

Рассмотрим перевод целых чисел между двоичной и 16-ной системами счисления

 

Рассмотрим перевод дробной части между двоичной и восьмеричной системами

Чтобы записать правильную двоичную дробь в системе счисления с основанием q = 2ⁿ, достаточно:

двоичное число разбить слева направо на группы по n цифр в каждой; если в последней правой группе окажется меньше n разрядов, то её надо дополнить справа нулями до нужного числа разрядов; рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число и записать её соответствующей цифрой.

Итак, сегодня вы узнали, что существуют разные системы счисления: непозиционные и позиционные. Позиционные системы счисления имеют алфавит и основание и его можно представить в развернутом виде. Научились переводить из 10 с.с в любую другую систему счисления. Научились переводить из 2, 8, 16 сс в 10 с.с. Узнали, как быстро можно переводить числа между системами.

 

 

 

 

Тема 4: Информация и информационные процессы. (базовый)

 

Тема 4: Информация и информационные процессы.

 https://www.blogger.com/blog/post/edit/416734285435745321/8853095887921047264

Информация – это сведения о предметах, событиях, явлениях и процессах окружающего мира.

 Латинское слово «informatio» переводится как «разъяснение», «сведения». В быту под информацией мы обычно понимаем любые сведения или данные об окружающем нас мире и о нас самих.

Однако дать общее определение информации весьма непросто. Более того, в каждой области знаний слово «информация» имеет свой смысл.

Философы говорят о том, что информация, как зеркало, отражает мир (реальный или вымышленный). Биологи рассматривают информационные процессы в живой природе. Социологи изучают ценность и полезность информации в человеческом обществе. Специалистов по компьютерной технике в первую очередь интересует представление информации в виде знаков.

Попробуем посмотреть на информацию с разных сторон и попытаться выявить некоторые её свойства. Прежде всего, информация сама по себе «бестелесна», или нематериальна, она не имеет формы, размеров, массы. С этой точки зрения информация — это то содержание, которое человек с помощью своего сознания «выделяет» из окружающей среды.

 

Человек получает информацию через свои органы чувств: глаза, уши, рот, нос и кожу. Поэтому всю получаемую нами информацию можно разделить на следующие виды:

•         зрительная информация (визуальная, от англ. visual) — поступает через глаза (по разным оценкам, 80–90 % всей получаемой нами информации);

•         звуковая информация (аудиальная, от англ. audio) — поступает через уши;

•         вкусовая информация — поступает через язык;

•         обонятельная информация (запахи) — поступает через нос;

•         тактильная информация — мы её получаем с помощью осязания (кожи), «на ощупь»;

•         информация, получаемая от органов человека, например с по мощью «мышечного чувства» (человеческий мозг получает импульсы от мышц и суставов при перемещении частей тела).

 

Формы представления информации

Информация может быть представлена (зафиксирована, закодирована) в различных формах:

•         текстовая информация — последовательность символов (букв,

•         цифр, знаков);

•         в тексте важен порядок их расположения, например КОТ и ТОК — два разных текста, хотя они состоят из одинаковых символов;

•         числовая информация;

•         графическая информация (рисунки, картины, чертежи, карты, схемы, фотографии);

•         звуковая информация (звучание голоса, мелодии, шум, стук, шорох и т. п.);

•         мультимедийная информация, которая объединяет несколько форм представления информации (например, видеоинформация)

Обратим внимание, что одна и та же информация может быть представлена по-разному. Например, результаты измерения температуры в течение недели можно сохранить в виде текста, таблицы, графика, диаграммы, видеофильма и т.

 

Свойства информации

В идеале информация должна быть:

• объективной (не зависящей от чьего-либо мнения);

• понятной для получателя;

• полезной (позволяющей получателю решать свои задачи);

• достоверной (полученной из надёжного источника);

• актуальной (значимой в данный момент);

• полной (достаточной для принятия решения).

 

 

Информацией обмениваются люди, объекты живой природы и технические устройства.

Источник – объект, который передает информацию.

Приемник – объект, который получает информацию.

Носитель информации – любой материальный объект, на котором размещается и хранится информация. Носителями информации являются человек, животные, растения, камни, книги, журналы, фотобумага, кинопленка и т. д.

С понятием «информация» тесно связано понятие «данные».

Данные – это совокупность сведений, зафиксированных на определенном носителе в форме, пригодной для постоянного хранения, передачи и обработки. Преобразование и обработка данных позволяет получить информацию. 

Единицы измерения информации

`1` килобайт (`1` kB) `= 1000` B (1000 байт);

`1` мегабайт (`1` MB) `= 1000` kB ;

`1` гигабайт (`1` GB) `= 1000`  MB;

`1` терабайт (`1` TB) `= 1000`  GB;

`1` петабайт (`1` PB) `= 1000`  TB;

`1` эксабайт (`1` EB) `= 1000`  PB;

`1` зеттабайт (`1` ZB) `= 1000` EB;

`1` йоттабайт(`1` YB) `= 1000` ZB.

 

Информационные процессы — это действия над информацией или с ней.

Информацию можно получать, передавать, хранить и обрабатывать. Для автоматизированной обработки информации используют компьютер.

История информационных процессов

Первые наскальные рисунки можно рассматривать как попытки передачи сведений о существующем мире потомкам, а также способом сохранения информации. Глиняные таблички, папирусы, берестяные грамоты, книги, летописи, картины — это все исторические способы сохранения и передачи информации. Множество древних источников мы можем изучать сейчас, но и многие были утеряна за всю историю человечества вследствие пожаров, потерянных тайников, военных действий и просто небрежного отношения.С развитием цивилизаций и усовершенствованием способов получения, хранения и передачи данных всё больше знаний древности стало пронизывать время. 

Постепенно человечество стало относиться к вопросам сохранения информации внимательнее, и сейчас мы имеем возможность изучать труды древних учёных, знакомимся с образом жизни людей из прошлого, даже если первоначальный источник утерян, т.к. использовались актуальные для своего времени способы сохранения данных, сейчас же — это оцифровка данных, сохранение всего в пригодном для чтения компьютером виде.

Следует заметить, что информационные процессы не изменяют содержание информации, возможно лишь изменение формы её представления или получение новой информации.

Рассмотрим подробнее каждый из информационных процессов.

Основные информационные процессы

Основные информационные процессы можно упорядочить по их первоочередности выполнения:

1.                  Получение информации: собираем всю информацию по теме из доступных источников (например, для создания проектной работы находим все интернет-страницы по заданной теме).

2.                  Хранение информации: полученную информацию обязательно необходимо где-то сохранить, выделяем место хранение (скачиваем все на компьютер и сохраняем на диске).

3.                  Обработка информации: полученную информацию необходимо систематизировать и оформить в один файл, пригодный для передачи (перечитываем полученное и выделяем главное, все оформляем в виде документа — реферата, презентации, письменной работы и пр.).

4.                  Передача информации: созданный файл представляем в форме, пригодной для восприятия (представление проектной работы публике — выступление на конференции, выставление в интернете и др.).

Получение информации

Получение информации — это процесс, в результате которого приёмник информации получает какие-либо сведения или сообщения, а также процесс создания новой информации из ранее существующей.

Пример получения информации: Сергей написал сообщение Тане в социальной сети, в котором сообщил о времени начала трансляции на своём канале. Таня, прочитав это сообщение, получила информацию. На основе сообщения Таня создала пост в социальной сети. Таким образом, она получила новую информацию.

Хранение информации

Хранение информации — это процесс, в результате которого информация становится доступной для использования на протяжении длительного времени.

Пример хранения информации: Каждый раз, когда вы делаете записи в школьной тетради или публикуете пост в социальной сети, вы начинаете хранить информацию. Развитие цивилизации привело к появлению новых способов хранения сведений. Сейчас нам доступны различные носители информации, которые постоянно совершенствуются. Буквально 20 лет назад основным носителем были различные магнитные ленты и диски, а 50 лет назад — бумага.

Обработка информации

Обработка информации — это процессы, в результате которых информация либо преобразуется в новую, либо изменяет свою форму представления.

Пример обработки информации: Катя с родителями путешествовали по городам Урала. Каждый день девочка много снимала фото и видео. После возвращения домой Катя монтирует видеоролик о своём путешествии — это обработка информации.

Передача информации

Передача информации — это процесс, в котором сообщения от источника информации попадают к приёмнику информации через какой-либо канал связи.

Пример передачи информации: Лена звонит маме по мобильному телефону, чтобы сообщить, что она получила сегодня пятёрку за контрольную работу по информатике. На этом простом примере разберём, кто здесь источник информации, кто приёмник и какой канал связи использован.

 

Сам разговор — процесс передачи информации. Лена выступает его источником, а мама — приёмник информации. В приведённом примере мобильный телефон как устройство, обеспечивающее передачу информации, преобразовывает речь человека в радиосигнал и обратно, выступает в качестве канала связи.

Определение

Источник информации — объект, который отправляет информацию по каналу связи.

Приемник информации — объект, который принимает информацию, переданную по каналу связи, от источника.

Канал связи — технические устройства или среда для передачи сигналов от источника информации к приёмнику.

Процессы обработки информации

К процессам обработки информации можно относятся:

·                     вычислительные операции. Во время решения математических задач при помощи различных арифметических операций вы получаете новую информацию из имеющейся;

·                     логические рассуждения. Например, когда вы проходите какой-то квест и вам нужно решать логические задания, путем рассуждения вы получите новую информацию;

·                     кодирование. В результате кодирования информации её содержание не изменяется совсем, а меняется только форма представления. Например, информация о прекращении движения, ожидании и разрешении движения закодирована в виде трёх цветов светофора;

·                     поиск. Конечно, вы уже выполняли проекты и искали сведения для них в различных книгах, статьях и интернете, при этом вы извлекали необходимую информацию из хранимой;

·                     сортировка. В библиотеке книги хранятся в сортированном виде — алфавитный, тематический, хронологический порядок — для удобства поиска библиотекарь отсортировал все книги;

·                     структурирование. Многие структурированные данные занимают постоянное место в науках, например строение одноклеточного организма или коронавируса;

·                     защита. Это актуальный процесс обработки информации, включающий в себя целый комплекс мер, состоящий из организационных, технических и правовых мер, которые обеспечивают информационную безопасность.

Мы живём в информационном обществе. Каждый из нас постоянно принимает, передаёт, хранит и обрабатывает большое количество данных. Информационные процессы стали частью повседневных действий, и мы о них даже не задумываемся.